Question

20．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+2（a为常数）．
（Ⅰ）当a=1时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）当a∈R时，解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时，x²-3x+2＜0，解得即可，
（Ⅱ）原不等式等价为（ax-2）（x-1）＜0．对a经行分类讨论，即可求出不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2，故不等式的解集为（1，2）
（Ⅱ）x的不等式f（x）＜0等价为（ax-2）（x-1）＜0．
（1）当a=0时，原不等式为-（x-1）＜0，解得x＞1．即原不等式的解集为（1，+∞）．
（2）若a＞0，则原不等式可化为（x-$\frac{2}{a}$）（x-1）＜0，
对应方程的根为x=1或x=$\frac{2}{a}$．
当$\frac{2}{a}$＞1，即0＜a＜2时，不等式的解为1＜x＜$\frac{2}{a}$．
当a=2时，不等式的解集为空集．
当$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2时，不等式的解为$\frac{2}{a}$＜x＜1．
（3）若a＜0，则原不等式可化为（x-$\frac{2}{a}$）（x-1）＞0，
所以$\frac{2}{a}$＜1，所以不等式的解为x＞1或x＜$\frac{2}{a}$．
综上：（1）当a=0时，不等式的解集为（1，+∞）．
（2）0＜a＜2时，不等式的解集为（1，$\frac{2}{a}$）．
当a=2时，不等式的解集为空集．
当a＞2时，不等式的解集为（$\frac{2}{a}$，1）．
当a＜0时，不等式的解集为（-∞，$\frac{2}{a}$）∪（1，+∞）

点评 本题考查了用分类讨论法解含有字母系数的不等式的问题，解题时应适当地进行分类，求出各种情况的不等式的解集，再综合在一起，是易错题．