Question

7．已知函数f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$有三个零点，则实数a的取值范围是-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0．

Answer 1

分析 由f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$=0，可得a=x（3-2x）e^x，令y=x（3-2x）e^x，则y′=-（x-1）（2x+3）e^x，取得函数的单调性，求出函数的极值，即可得出结论．

解答 解：由f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$=0，可得a=x（3-2x）e^x，（x≠0）
令y=x（3-2x）e^x，则y′=-（x-1）（2x+3）e^x，
∴x＜-$\frac{3}{2}$或x＞1时，y′＜0，函数单调递减，-$\frac{3}{2}$＜x＜0或0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增，
∴x=-$\frac{3}{2}$时，函数取得极小值-9${e}^{-\frac{3}{2}}$，x=1时，函数取得极大值e，
∵f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$有三个零点，当x趋于负无穷的时候y是趋于零的
∴-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0，
故答案为-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0．

点评 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分离变量是关键．