Question

20．已知函数f（x）=x²+（2m-1）x-mlnx．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt-f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；
（3）问题等价于mt-1＜f（x）_min，通过讨论m 的范围，求出t的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m=1时，$f（x）={x^2}+x-lnx，f'（x）=\frac{{（{2x-1}）（{x+1}）}}{x}$，解得x=-1（舍去），$x=\frac{1}{2}$，
在$（{0，\frac{1}{2}}）$上递减，在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上递增，所以f（x）的极小值为$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{3}{4}+ln2$．
（2）$f'（x）=2x+（{2m-1}）-\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}+（{2m-1}）x-m}}{x}$，令f'（x）=0可得${x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=-m$．
①当m≥0时，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上单调递减，
由f'（x）＞0可得f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上单调递增．
②当$-\frac{1}{2}＜m＜0$时，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{-m，\frac{1}{2}}）$上单调递减，
由f'（x）＞0可得f（x）得在（0，-m）和$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上单调递增．
③当$m=-\frac{1}{2}$时，由$f'（x）=\frac{{2{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{x}≥0$可得f（x）在（0，+∞）上单调递增．
④当$m＜-\frac{1}{2}$时，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{\frac{1}{2}，-m}）$上单调递减，
由f'（x）＞0可得f（x）得在$（{0，\frac{1}{2}}）$和（-m，+∞）上单调递增．
（3）由题意可知，对?m∈（2，3），x∈[1，3]时，恒有mt-1＜f（x）成立，等价于mt-1＜f（x）_min，
由（2）知，当m∈（2，3）时，f（x）在[1，3]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=2m，所以原题等价于?m∈（2，3）时，恒有mt-1＜2m成立，即$t＜2+\frac{1}{m}$．
在m∈（2，3）时，由$\frac{7}{3}＜2+\frac{1}{m}＜\frac{5}{2}$，故当$t≤\frac{7}{3}$时，mt-1＜2m恒成立，∴$t≤\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．