Question

某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
（Ⅰ）根据三视图，画出该几何体的直观图；
（Ⅱ）在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥AGC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据三视图，可得该几何体为正四棱锥P-ABCD，正方形ABCD的边长为2，正四棱锥的高为

2

，由此可得该几何体的直观图．
（Ⅱ）①证明：在直观图中，设正方形ABCD的中心为O，利用三角形的中位线证明OG∥PD．再由直线和平面平行的判定定理证得 PD∥面AGC．
②正方形ABCD中，AC⊥BD．再由正四棱锥P-ABCD 的性质可得PO⊥平面ABCD，可得AC⊥平面PBD，可得AC⊥GO．再利用直线和平面垂直的判定定理得AC⊥面PBD，从而证得面PBD⊥平面AGC．

解答： 解：（Ⅰ）根据三视图，可得该几何体为正四棱锥P-ABCD，正方形ABCD的边长为2，正四棱锥的高为

2

，
该几何体的直观图如图所示：
（Ⅱ），①证明：在直观图中，设正方形ABCD的中心为O，∵G是PB的中点，
∴OG是△PAD的中位线，故有OG∥PD．
而OG?面AGC，PD?面AGC，∴PD∥面AGC．
②证明：正方形ABCD中，AC⊥BD，再由正四棱锥P-ABCD 的性质可得PO⊥平面ABCD，而PO?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面ABCD，且平面PBD∩平面ABCD=BD，∴AC⊥平面PBD．
而GO?平面PBD，∴AC⊥GO．
根据BD和GO是平面AGC内的两条相交直线，可得AC⊥面PBD．
由AC?平面AGC，可得面PBD⊥平面AGC．

点评：本题主要考查三视图、直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题．