Question

16．如图，点A与点A′在x轴上，且关于y轴对称，过点A′垂直于x轴的直线与抛物线y²=2x交于两点B，C，点D为线段AB 上的动点，点E在线段AC上，满足$\frac{{|{CE}|}}{{|{CA}|}}=\frac{{|{AD}|}}{{|{AB}|}}$．
（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为S₁、S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的值．

Answer 1

分析 （1）设A及B，C点坐标，根据相似关系，设$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，根据向量的坐标运算，求得D及E点坐标，求得直线DE的方程，将直线方程代入抛物线方程，有且仅有一个解，则直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；
（2）根据三角形的面积公式，求得S₁，令y=0，求得G点坐标及丨AG丨，则S₂=S_△ADG+S_△AEG=$\frac{1}{2}$×丨AG丨×丨y_D-y_E丨=2a³（4λ-4λ²），即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的值．

解答 解：（1）证明：设A（-2a²，0），A′（2a²，0），则B（2a²，2a），C（2a²，-2a），
设D（x₁，y₁），$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，
∴（x₁+2a²，y₁）=λ（4a²，2a），故D的坐标（（4λ-2）a²，2λa），
设E（x₂，y₂），由$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，则（x₂-2a²，y₂+2a）=λ（-4a²，2a），
∴E（（2-4λ）a²，（2λ-2）a），
∴直线DE的斜率为k_DE=$\frac{2a}{（8λ-4）{a}^{2}}$=$\frac{1}{（4λ-2）a}$，
直线DE的方程：y-2λa=$\frac{1}{（4λ-2）a}$[x-（2-4λ）a²]，
整理得：（4λ-2）ay-2λa（4λ-2）a=x-（2-4λ）a²，即x=2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²，①
代入抛物线方程，y²=2[2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²]，
整理得：y²-4a（2λ-1）y+4a²（2λ-1）²=0，②
此时方程②的两个根相等，y=2a（2λ-1），
代入①，整理得x=2a²（2λ-1）²，
∴直线DE与此抛物线有且仅有一个公共点F（2a²（2λ-1）²，2a（2λ-1））；
（2）由S₁=$\frac{1}{2}$×丨BC丨×h=$\frac{1}{2}$×4a×（2a²-x_F）=4a³（4λ-4λ²），
设直线DE与x轴交于点G，令y=0，代入方程①，x=2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²，解得：x=2a²（2λ-1）²，
故丨AG丨=2a²-2a²（2λ-1）²=2a²（4λ-4λ²），
S₂=S_△ADG+S_△AEG=$\frac{1}{2}$×丨AG丨×丨y_D-y_E丨=a²（4λ-4λ²）丨2λa-（2λ-2）a丨=2a³（4λ-4λ²），
∴$\frac{S_1}{S_2}$=2，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的值2．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，直线的斜率公式及点斜式方程的应用，考查计算能力，属于中档题．