Question

5．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇＜S₉＜S₈，给出下列命题：
①数列{a_n}为递减数列；②|a₈|＞|a₉|；③S_n最大值为S₈；④满足S_n＞0的n最大值为16．
其中正确的命题个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由已知的不等式S₈＞S₉＞S₇，以及S₉=S₈+a₉，S₈=S₇+a₈，S₉=S₇+a₈+a₉，利用不等式的性质得出a₈，a₉及a₈+a₉的符号，进而再利用等差数列的性质及求和公式对各项进行判断，即可得到正确选项的序号．

解答 解：等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇＜S₉＜S₈，
∵S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，
∴S₈＞S₈+a₉，即a₉＜0，
又S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，
∴S₇+a₈＞S₇，即a₈＞0，
∴d=a₉-a₈＜0，即数列{a_n}为递减数列，
故选项①对；
又S₉＞S₇，S₉=S₇+a₈+a₉，
∴S₇+a₈+a₉＞S₇，即a₈+a₉＞0，
即有a₈＞-a₉，
即|a₈|＞|a₉|，故选项②对；
由d＜0，a₈＞0，a₉＜0，…，a₁＞0，
S_n最大值为S₈，故选项③对；
又a₁+a₁₅=2a₈，
∴S₁₅=$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a₈＞0，
又a₁+a₁₆=a₈+a₉，
∴S₁₆=$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a₈+a₉）＞0，
又a₁+a₁₇=2a₉，
∴S₁₇=$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=17a₉＜0，
满足S_n＞0的n最大值为16．故选项④对．
其中正确的命题个数是4．
故选：D．

点评 此题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，熟练运用等差数列的性质是解本题的关键．