Question

17．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在截面A₁DB上，则线段AP的最小值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得AC₁⊥平面A₁DB，可得P为AC₁与截面A₁DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解．

解答 解：如图，连接AC₁交截面A₁DB于P，由CC₁⊥底面，可得CC₁⊥BD，
又AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁，则AC₁⊥BD．
同理可得AC₁⊥A₁B，得到AC₁⊥平面A₁DB，此时线段AP最小．
由棱长为1，可得等边三角形A₁DB的边长为$\sqrt{2}$．
${s}_{△{A}_{1}DB}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵${V}_{{A}_{1}ADB}={V}_{A-{A}_{1}DB}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×AP$，解得AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查点、线、面间的距离的求法，利用了等积法求距离，是中档题．