Question

16．在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足ccosB+（b-2a）cosC=0．且c=2$\sqrt{3}$
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC面积最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由正弦定理与三角形内角和定理求出cosC和C的值；
（2）由余弦定理和基本不等式求出△ABC面积最大值时，三角形为等边三角形．

解答 解：（1）△ABC中，ccosB+（b-2a）cosC=0，
由正弦定理得，
sinC•cosB+（sinB-2sinA）cosC=0，
∴sinC•cosB+cosCsinB-2sinAcosC=0，
∴sin（B+C）=2sinAcosC=sinA；
又∵sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$；…（6分）
（2）由余弦定理得，
c²=a²+b²-2abcosC，
∴12=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
即ab≤12，当且仅当$a=b=2\sqrt{3}$时取最大值；
且S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×sin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$；…（10分）
此时三角形为等边三角形．…（12分）

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与基本不等式的应用问题．