Question

6．已知抛物线C：x²=2py（p＞0），过其焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|=8，
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知动点P的圆心在抛物线C上，且过点D（0，2），若动圆P与x轴交于A，B两点，且|DA|＜|DB|，求$\frac{{{{|{DA}|}^2}}}{{{{|{DB}|}^2}}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的焦点坐标，设直线l的方程，代入抛物线方程，李媛媛韦达定理及抛物线的焦点弦公式，求出p，即可求出抛物线C的方程；
（2）设P点坐标，求得圆的方程，令y=0，根据对称性及|DA|＜|DB|，求得A和B点坐标，利用两点之间的距离公式及基本不等式的性质即可求得$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}$的最小值．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2py的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），则直线l的方程：$y=x+\frac{p}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=2py，\;\;\\ y=x+\frac{p}{2}\end{array}\right.⇒{x^2}-2px-{p^2}=0$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=2p，y₁+y₂=（x₁+x₂）+p=3p，
又因为直线MN过焦点，则|MN|=y₁+y₂+p=4p=8，解得：p=2，
∴该抛物线的方程为：x²=4y．
（2）设$P（{{x_0}，\;\;\frac{x_0^2}{4}}）$，由于圆P过点D（0，2），
则圆P的方程为：${（x-{x_0}）^2}+{（{y-\frac{x_0^2}{4}}）^2}={（0-{x_0}）^2}+{（{2-\frac{x_0^2}{4}}）^2}$，
令y=0，则${x^2}-2{x_0}x+x_0^2-4=0⇒x={x_0}±2$．由对称性，|DA|＜|DB|，不妨x₀＞0，则A（x₀-2，0），B（x₀+2，0）．
故$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}=\frac{{{{（{x_0}-2）}^2}+4}}{{{{（{x_0}+2）}^2}+4}}=\frac{{x_0^2-4{x_0}+8}}{{x_0^2+4{x_0}+8}}=1-\frac{{8{x_0}}}{{x_0^2+4{x_0}+8}}=1-\frac{8}{{{x_0}+\frac{8}{x_0}+4}}$，
由于${x_0}+\frac{8}{x_0}≥4\sqrt{2}$，
故$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}=1-\frac{8}{{{x_0}+\frac{8}{x_0}+4}}≥1-\frac{8}{{4\sqrt{2}+4}}=3-2\sqrt{2}$，（${x_0}=2\sqrt{2}$时取等）
∴$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}$的最小值为$3-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．