Question

3．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2a，AA₁=3a．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求点B₁到平面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，再证明：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）由${V_{{B_1}-{A_1}B{C_1}}}={V_{B-{A_1}{B_1}{C_1}}}$，求点B₁到平面A₁BC₁的距离．

解答 （Ⅰ）证明：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁…（2分）
又AB=BC=2a，A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁…（3分）
∵B₁D₁∩BB₁=B₁，B₁D₁，BB₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D…（5分）
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面BDD₁B₁…（6分）
（Ⅱ）解：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2a，AA₁=3a，
则${A_1}B=B{C_1}=\sqrt{13}a，{A_1}{C_1}=2\sqrt{2}a$，…（7分）
于是△A₁BC₁的面积S=$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}a•\sqrt{13{a^2}-2{a^2}}=\sqrt{22}{a^2}$…（9分）
记“点B₁到平面A₁BC₁的距离”为h，由${V_{{B_1}-{A_1}B{C_1}}}={V_{B-{A_1}{B_1}{C_1}}}$，
得$\frac{1}{3}×\sqrt{22}{a^2}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2a×2a×3a$…（11分），解得$h=\frac{{3\sqrt{22}}}{11}a$…（12分）

点评 本题考查平面和平面垂直的判定和性质以及点到面的距离和三棱锥的体积计算公式．是对立体几何知识的综合考查．