Question

若抛物线y²=x上存在两点关于直线y=m（x-3）对称，则m的范围为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：向量与圆锥曲线

分析：整体设点，利用直线和两点线段垂直平分关系，结合斜率和中点关系代入方程即可解决．

解答： 解：m=0时，y=0，符合题意．
m≠0时，
设P（y

2 1

，y₁），Q（y²₂，y₂）
P，Q关于直线l：y=m（x-3）对称

y1+y2

2

=m(

y 2 1 + y 2 2

2

-3) （1），

y1-y2

y 2 1 - y 2 2

=

1

y1+y2

=-

1

m

即

1

y1+y2

=-

1

m

代入（1）解得

y1+y2=-m y 2 1 + y 2 2 =5

因为（y₁+y₂）²=m²，y

2 1

+y

2 2

＞2y1 y₂，所以2（y

2 1

+y

2 2

）＞m²即10＞m²
故实数m的范围为（-

10

，

10

）

点评：本题难度不大，考查了解析几何的对称关系，用好方程，中点坐标和斜率就能能解决