Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在过的直线，使得直线与椭圆交于，？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；直线或

【解析】

（1）由长轴和短轴可得，从而得椭圆方程；

（2）当直线的斜率不存在时，不满足条件；假设存在斜率存在的过点的直线，使得直线与椭圆交于，，设，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得，说明，代入可求得，得直线方程．

解：（1）设椭圆的方程为，

可得，即，

所以椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，不满足条件；

假设存在过点的直线，使得直线与椭圆交于，，

设直线的方程为，联立椭圆的方程得，

设，，

，即，

由，化为，

得，

化为，解得，

所在存在直线或满足条件.