Question

11．f（x+1）=$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，且f（1）=$\frac{1}{4}$，数列{a_n}满足a_n=f²（n）-f（n），n∈N^*，若其前n项和为：-$\frac{35}{16}$，则n的值为（　　）

• A． 16
• B． 17
• C． 18
• D． 19

Answer 1

分析 先求得，${a}_{1}=-\frac{3}{16}$，移项，两边平方得：[f（x+1）-$\frac{1}{2}$]2=f（x）-f²（x），将：[f（x+1）-$\frac{1}{2}$]2=f（x）-f²（x），代入整理得：：a_n+1+a_n=-$\frac{1}{4}$，
数列{a_n}任意相邻两项相加为常数-$\frac{1}{4}$，当n为偶数时不成立，当n为奇数时，a₁+（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{n-1}{2}$=-$\frac{35}{16}$，解得的值．

解答 解：f（1）=$\frac{1}{4}$，${a}_{1}=-\frac{3}{16}$，
f（x+1）=$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，
∴f（x+1）-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$，
两边平方得：[f（x+1）-$\frac{1}{2}$]2=f（x）-f²（x），
f²（x+1）-f（x）+$\frac{1}{4}$=f（x）-f²（x），
∴a_n+1+$\frac{1}{4}$=-a_n，即：a_n+1+a_n=-$\frac{1}{4}$，
∴数列{a_n}任意相邻两项相加为常数-$\frac{1}{4}$，
当n为偶数时，分子不可能为奇数，
∴不成立，
∵n为奇数，a₁+a₂+a₃+…+a_n
=a₁+（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{n-1}{2}$=-$\frac{35}{16}$，
解得：n=17，
故答案为：B．

点评 本题考查函数的恒等变换，及数列的前n项和，学生需要对函数式灵活变换，属于中档题．