Question

3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2b，1），$\overrightarrow{n}$=（2a-c，cosC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）若b²=ac，试判断△ABC的形状；
（2）求y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用平面向量的数量积运算法则可得2bcosC=2a-c，结合余弦定理可得a²-ac=b²-c²，由余弦定理可得B=$\frac{π}{3}$．又b²=ac，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，结合范围A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求2A-$\frac{π}{6}$的范围，解得A=C=B=$\frac{π}{3}$，即可得解．
（2）由（1）可得B=$\frac{π}{3}$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得y=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$），（cosA≠0），由范围A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求2A-$\frac{π}{4}$的范围，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2A-$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），即可解得函数的值域．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2b，1），$\overrightarrow{n}$=（2a-c，cosC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴2bcosC=2a-c，
由余弦定理可得：cosC=$\frac{2a-c}{2b}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
整理可得：a²-ac=b²-c²，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{b}^{2}}{2{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，可得B=$\frac{π}{3}$．
又∵b²=ac，
∴可得：sin²B=$\frac{3}{4}$=sinAsinC=sinAsin（$\frac{2π}{3}$-A）=sinA（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$），可得：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），解得：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{π}{3}$，C=π-A-B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC为等边三角形．
（2）∵由（1）可得：B=$\frac{π}{3}$．
∴y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$=1-$\frac{2（cosA+sinA）（cosA-sinA）}{\frac{cosA+sinA}{cosA}}$=1-2（cosA-sinA）cosA=1-2cos²A+2sinAcosA=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$），（cosA≠0），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{13π}{12}$），
∴sin（2A-$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量的数量积运算，正弦函数的图象和性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．