Question

8．已知a＞0，且不等式（x+t+$\frac{1}{t}$+a）²+（x-$\frac{1}{t}$-2）²≥50对于任意实数x∈R，t＞0恒成立，则a的取值范围是（0，+∞）．

Answer 1

分析 把已知不等式变形为关于x的一元二次不等式，由不等式（x+t+$\frac{1}{t}$+a）²+（x-$\frac{1}{t}$-2）²≥50对于任意实数x∈R恒成立，可得一元二次不等式的判别式小于等于0，整理得$（t+a）^{2}+4（t+a）+\frac{4（at+t+1）}{{t}^{2}}≥0$，在a＞0时，该式对任意的t＞0恒成立，从而得到a的取值范围．

解答 解：由（x+t+$\frac{1}{t}$+a）²+（x-$\frac{1}{t}$-2）²≥50，得：
$2{x}^{2}+2（t+a-2）x+{t}^{2}+\frac{2}{{t}^{2}}+2at+\frac{2a+4}{t}$+a²-44≥0，
∵不等式（x+t+$\frac{1}{t}$+a）²+（x-$\frac{1}{t}$-2）²≥50对于任意实数x∈R恒成立，
∴△=$4（t+a-2）^{2}-8（{t}^{2}+\frac{2}{{t}^{2}}+2at+\frac{2a+4}{t}+{a}^{2}-44）≤0$，
整理得：$（t+a）^{2}+4（t+a）+\frac{4（at+t+1）}{{t}^{2}}≥0$，
在a＞0时，该式对任意的t＞0恒成立，
∴a的取值范围是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查恒成立问题，考查了数学转化思想方法，是中档题．