Question

14．直线y=x+m与双曲线2x²-y²=2交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求m的值及弦AB的长．

Answer 1

分析 联立直线和双曲线的方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的积，由以AB为直径的圆经过坐标原点得到x₁x₂+y₁y₂=0，代入后即可求得m的值．然后利用弦长公式求解即可．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y得，x²-2mx-2-m²=0．
∵直线y=x+m与双曲线2x²-y²=2相交于A，B两点，
由△=（-2m）²+4（2+m²）=8+8m²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2-m²．
所以y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=2m²-2，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
即为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
即-2-m²+2m²-2=0，
解得m=±2．
所以m的值是±2．
弦AB的长：$\sqrt{1+{1}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}×$$\sqrt{4{m}^{2}-4（-2-{m}^{2}）}$=$\sqrt{2}×$$\sqrt{16+24}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，是中档题．