Question

17．已知函数f（x）=（ax-1）e^2x+x+1（其中e为自然对数的e底数）．
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对?x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=0时，f′（x）=-2e^2x+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）f′（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，令g（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，则g′（x）=4（ax-1+a）e^2x，由此利用分类讨论思想，结合导数应用能求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=-e^2x+x+1，f′（x）=-2e^2x+1，
由f′（x）=0，解得x=-$\frac{ln2}{2}$，
当x∈（-∞，-$\frac{ln2}{2}$）时，f′（x）＞0，当x∈（-$\frac{ln2}{2}$，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-$\frac{ln2}{2}$），单调减区间为（-$\frac{ln2}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，令g（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，
则g′（x）=4（ax-1+a）e^2x，
①若a≥1，当x∈（0，+∞），g′（x）＞0，从而g（x）在（0，+∞）上单调递增且g（0）=a-1≥0，
∴x∈（0，+∞）时，g（x）＞0即f′（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增且f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，符合题意．
②若a≤0，则x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，则g（x）＜g（0）=a-1，
即x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减，此时f（x）＜f（0）=0，不符合题意．
③若0＜a＜1，由g′（x）=4（ax-1+a）e^2x=0，得x=$\frac{1}{a}-1$，且x∈（0，$\frac{1}{a}-1$），g′（x）＜0，
∴函数y=g（x）在（0，$\frac{1}{a}-1$）单调递减．
∴x∈（0，$\frac{1}{a}-1$）时，g（x）＜g（0）=a-1＜0，即x$∈（0，\frac{1}{a}-1）$时，f′（x）＜0，
∴函数y=f（x）在（0，$\frac{1}{a}-1$）单调递减，
∴x∈（0，$\frac{1}{a}-1$）时，f（x）＜f（0）=0，不符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性、函数的最值、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．