Question

7．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与两条平行直线l₁：y=x+b与l₂：y=x-b分别相交于四点A，B，D，C，且四边形ABCD的面积为$\frac{{8{b^2}}}{3}$，则椭圆E的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 联立直线与椭圆方程，求得A坐标，即求得边AB，利用点到直线的距离公式求得边AB上的高，即可表示面积，列式求解．

解答 解：如图所示，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒（a²+b²）x²+2ba²x=0，
可得点A的横坐标为$\frac{-2b{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∴AB=$\sqrt{2}$×$\frac{2b{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
又因为原点到AB的距离d=$\frac{b}{\sqrt{2}}$
四边形ABCD的面积为AB×2d=$\sqrt{2}$×$\frac{2b{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$×$\sqrt{2}b$=$\frac{8{b}^{2}}{3}$
整理得：a²=2b²，椭圆E的离心率为e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故选：A

点评 本题考查了椭圆的离心率，涉及到了点到直线的距离公式，属于中档题．