Question

12．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B-AD-C为$\frac{π}{3}$，则四面体ABCD的外接球的表面积为$\frac{7π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AD=1，可得四面体ABCD的外接球的半径=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{7}{12}}$，即可求出四面体ABCD的外接球的表面积．

解答 解：由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AD=1，∴四面体ABCD的外接球的半径=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{7}{12}}$，
∴四面体ABCD的外接球的表面积为$4π•\frac{7}{12}$=$\frac{7π}{3}$，
故答案为：$\frac{7π}{3}$．

点评 本题考查四面体ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球的半径是关键．