Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE（A₁∉平面ABCD）．若M、O分别为线段A₁C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（　　）

• A． 与平面A₁DE垂直的直线必与直线BM垂直
• B． 过E作EG∥BM，G∈平面A₁DC，则∠A₁EG为定值
• C． 一定存在某个位置，使DE⊥MO
• D． 三棱锥A₁-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值

Answer 1

分析 对于A，延长CB，DE交于H，连接A₁H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM∥平面A₁DE，即可判断A；
对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；
对于C，连接A₁O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；
对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A₁-ADE外接球球心为O，即可判断D．

解答 解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A₁H，由E为AB的中点，
可得B为CH的中点，又M为A₁C的中点，可得BM∥A₁H，BM?平面A₁DE，
A₁H?平面A₁DE，则BM∥平面A₁DE，故与平面A₁DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；
对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG∥BM，G∈平面A₁DC，
则∠A₁EG=∠EA₁H，
在△EA₁H中，EA₁=a，EH=DE=$\sqrt{2}$a，A₁H=$\sqrt{{a}^{2}+2{a}^{2}-2•a•\sqrt{2}a•（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$
=$\sqrt{5}$a，则∠EA₁H为定值，即∠A₁EG为定值，则B正确；
对于C，连接A₁O，可得DE⊥A₁O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A₁MO，
即有DE⊥A₁C，由A₁C在平面ABCD中的射影为AC，
可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．
则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；
对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得
三棱锥A₁-ADE外接球球心为O，半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
即有三棱锥A₁-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．
故选：C．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，难度中档．