Question

2．若不等式ln（x+2）+a（x²+x）≥0对于任意的x∈[-1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． [0，1]
• C． [0，e]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 令f（x）=ln（x+2）+a（x²+x），x∈[-1，+∞），讨论a的范围，判断f（x）的单调性，得出f_min（x），令f_min（x）≥0即可．

解答 解：令f（x）=ln（x+2）+a（x²+x），x∈[-1，+∞），
∵不等式ln（x+2）+a（x²+x）≥0对于任意的x∈[-1，+∞）恒成立，
∴f_min（x）≥0，
f′（x）=$\frac{1}{x+2}$+2ax+a=$\frac{2a{x}^{2}+5ax+2a+1}{x+2}$，
令g（x）=2ax²+5ax+2a+1，
（1）若a=0，则g（x）=1，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[-1，+∞）上单调递增，∴f_min（x）=f（-1）=0，符合题意；
（2）若a＞0，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=-$\frac{5}{4}$，
∴g（x）在[-1，+∞）上单调递增，∴g_min（x）=g（-1）=1-a，
①若1-a≥0，即0＜a≤1，则g（x）≥0，∴f′（x）≥0，由（1）可知符合题意；
②若1-a＜0，即a＞1，则存在x₀∈（-1，+∞），
使得当x∈（-1，x₀）时，g（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0，
∴f（x）在（-1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
∴f_min（x）＜f（-1）=0，不符合题意；
（3）若a＜0，则g（x）的图象开口向下，对称轴为x=-$\frac{5}{4}$，
∴g（x）在[-1，+∞）上单调递减，g_max（x）=g（-1）=1-a＞0，
∴存在x₁∈（-1，+∞），使得当x∈（-1，x₁）时，g（x）＞0，当x∈（x₁，+∞）时，g（x）＜0，
∴f（x）在（-1，x₁）单调递增，在（x₁，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（-1，+∞）上不存在最小值，不符合题意；
综上，a的取值范围是[0，1]．
故选B．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题研究及函数最值计算，属于中档题．