Question

10．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=$\sqrt{3}$AB，四边形B₁C₁CB为矩形，过A₁C做与直线BC₁平行的平面A₁CD交AB于点D．
（Ⅰ）证明：CD⊥AB；
（Ⅱ）若AA₁与底面A₁B₁C₁所成角为60°，求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC₁交AC于点E，连接DE．推导出BC₁∥DE，由四边形ACC₁A₁为平行四边形，得ED为△AC₁B的中位线，从而D为AB的中点，由此能证明CD⊥AB．
（Ⅱ）过A作AO⊥平面A₁B₁C₁垂足为O，连接A₁O，以O为原点，以$\overrightarrow{O{A_1}}，\overrightarrow{O{B_1}}，\overrightarrow{OA}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC₁交AC于点E，连接DE．
因为BC₁∥平面A₁CD，BC₁?平面ABC₁，平面ABC₁∩平面A₁CD=DE，
所以BC₁∥DE．（2分）
又因为四边形ACC₁A₁为平行四边形，
所以E为AC₁的中点，所以ED为△AC₁B的中位线，所以D为AB的中点．
又因为△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB．（4分）
解：（Ⅱ）过A作AO⊥平面A₁B₁C₁垂足为O，连接A₁O，设AB=2．
因为AA₁与底面A₁B₁C₁所成角为60°，所以∠AA₁O=60°．
在RT△AA₁O中，因为${A_1}A=2\sqrt{3}$，
所以${A_1}O=\sqrt{3}$，AO=3．
因为AO⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
所以AO⊥B₁C₁．
又因为四边形B₁C₁CB为矩形，所以BB₁⊥B₁C₁，
因为BB₁∥AA₁，所以B₁C₁⊥AA₁．
因为AA₁∩AO=A，AA₁?平面AA₁O，AO?平面AA₁O，所以B₁C₁⊥平面AA₁O．
因为A₁O?平面AA₁O，所以B₁C₁⊥A₁O．又因为${A_1}O=\sqrt{3}$，所以O为B₁C₁的中点．（7分）
以O为原点，以$\overrightarrow{O{A_1}}，\overrightarrow{O{B_1}}，\overrightarrow{OA}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
则${A_1}（{\sqrt{3}，0，0}）$，C₁（0，-1，0），A（0，0，3），B₁（0，1，0）．
因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（{-\sqrt{3}，1，0}）$，
所以$B（{-\sqrt{3}，1，3}）$，$D（{\frac{{-\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，3}）$，
因为$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（{-\sqrt{3}，-1，0}）$，
所以$C（{-\sqrt{3}，-1，3}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（{-2\sqrt{3}，1，3}）$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（{0，-2，0}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（{-2\sqrt{3}，-1，3}）$，$\overrightarrow{{A_1}D}=（{\frac{{-3\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，3}）$．（8分）
设平面BA₁C的法向量为n=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{A_1}B}•n=0\\ \overrightarrow{BC}•n=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{3}x+y+3z=0\\ y=0\end{array}\right.$
令$x=\sqrt{3}$，得z=2，所以平面BA₁C的一个法向量为$n=（{\sqrt{3}，0，2}）$．
设平面A₁CC₁的法向量为m=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{A_1}{C_1}}•m=0\\ \overrightarrow{{A_1}C}•m=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}a+b=0\\ 2\sqrt{3}a+b-3c=0\end{array}\right.$
令$a=\sqrt{3}$，得b=-3，c=1，所以平面A₁CC₁的一个法向量为$m=（{\sqrt{3}，-3，1}）$．（10分）
所以$cos\left?{n，m}\right＞=\frac{n•m}{|n||m|}=\frac{{5\sqrt{91}}}{91}$，
因为所求二面角为钝角，所以二面角B-A₁C-C₁的余弦值为$-\frac{{5\sqrt{91}}}{91}$．（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．