Question

18．已知a，b，c为正实数，且$a+2b≤8c，\frac{2}{a}+\frac{3}{b}≤\frac{2}{c}$，则$\frac{3a+8b}{c}$的取值范围为[27，30]．

Answer 1

分析 令x=$\frac{a}{c}$，y=$\frac{b}{c}$，z=3x+8y，将条件转化为关于x，y的不等式，并求出x，y的范围，作出平面区域，根据平面区域得出z取得最值时的位置，再计算z的最值．

解答 解：∵$a+2b≤8c，\frac{2}{a}+\frac{3}{b}≤\frac{2}{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{c}+\frac{2b}{c}≤8}\\{\frac{2c}{a}+\frac{3c}{b}≤2}\end{array}\right.$，设x=$\frac{a}{c}$，y=$\frac{b}{c}$，则有$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤8}\\{\frac{2}{x}+\frac{3}{y}≤2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y≤4-\frac{1}{2}x}\\{y≥\frac{3x}{2x-2}}\\{1＜x＜8}\end{array}\right.$，
作出平面区域如图所示：

令z=$\frac{3a+8b}{c}$=3x+8y，则y=-$\frac{3}{8}x$+$\frac{z}{8}$，
由图象可知当直线y=-$\frac{3}{8}x$+$\frac{z}{8}$经过点A时，截距最大，即z最大；
当直线y=-$\frac{3}{8}x$+$\frac{z}{8}$与曲线y=$\frac{3x}{2x-2}$相切时，截距最小，即z最小．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=4-\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{3x}{2x-2}}\end{array}\right.$得A（2，3），∴z的最大值为3×2+8×3=30，
设直线y=-$\frac{3}{8}x$+$\frac{z}{8}$与曲线y=$\frac{3x}{2x-2}$的切点为（x₀，y₀），
则（$\frac{3x}{2x-2}$）′|${\;}_{x={x}_{0}}$=-$\frac{3}{8}$，即$\frac{-6}{（2{x}_{0}-2）^{2}}$=-$\frac{3}{8}$，解得x₀=3，
∴切点坐标为（3，$\frac{9}{4}$），∴z的最小值为3×3+8×$\frac{9}{4}$=27．
∴27≤z≤30，
故答案为：[27，30]．

点评 本题考查了线性规划的应用，将三元不等式转化为二元不等式，转化为线性规划问题是解题的关键，属于中档题．