Question

1．在公比为q且各项均为正数的等比数列{a_n}中，S_n为{a_n}的前n项和．若a₁=$\frac{1}{{q}^{2}}$，且S₅=S₂+2，则q的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由a₁=$\frac{1}{{q}^{2}}$，且S₅=S₂+2，q＞0．可得a₃+a₄+a₅=${a}_{1}{q}^{2}$（1+q+q²）=2，代入化简解出即可得出．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{{q}^{2}}$，且S₅=S₂+2，q＞0．
∴a₃+a₄+a₅=${a}_{1}{q}^{2}$（1+q+q²）=2，
∴q²+q-1=0，
解得q=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．