Question

12．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的单调递减区间是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），所得到的图象对用的函数记为g（x），若对于任意一的x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，不等式-1＜g（x）-m＜1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据某一个周期内的单调递减区间是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．可知周期T=2（$\frac{11π}{12}$=$\frac{5π}{12}$）=π．当x=$\frac{5π}{12}$时，函数f（x）取得最大值，可得φ，即可求出f（x）的解析式；
（2）根据三角函数的平移变换规律，求出g（x），x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，求出g（x）的值域，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意，一个周期内的单调递减区间是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．
∴可知周期T=2（$\frac{11π}{12}$=$\frac{5π}{12}$）=π．
即$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2．
那么f（x）=sin（2x+φ）
当x=$\frac{5π}{12}$时，函数f（x）取得最大值，
即2×$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
φ=2$kπ-\frac{π}{3}$．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{3}$，
∴f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x$-\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x$-\frac{π}{3}$），把f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，可得sin[2（x-$\frac{π}{6}$）x$-\frac{π}{3}$]=sin（2x-$\frac{2π}{3}$），再将图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），可得sin（4x-$\frac{2π}{3}$）=g（x）．
当x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]时，
可得：（4x-$\frac{2π}{3}$）∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
当4x-$\frac{2π}{3}$=$-\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为$-\frac{1}{2}$．
当4x-$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为1．
不等式-1＜g（x）-m＜1恒成立，即m-1＜g（x）_min且g（x）_max＜1+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1＜-\frac{1}{2}}\\{m+1＞1}\end{array}\right.$
解得：$0＜m＜\frac{1}{2}$
∴实数m的取值范围（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质，三角函数的平移变换规律的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．