Question

17．已知函数y=$\frac{1}{3}$x³-ax²+x-5若函数在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是a≤$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 求导数得到f′（x）=x²-2ax+1，根据条件可得到f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，得到关于a的不等式组，这样即可解出a的范围，即得出实数a的取值范围．

解答 解：∵y=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+x-5，
∴f′（x）=x²-2ax+1；
∵f（x）在[2，+∞）上是增函数；
∴f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；
∴△=4a²-4≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-4＞0}\\{a≤2}\\{f′（2）=5-4a≥0}\end{array}\right.$；
解得-1≤a≤1，或a≤$\frac{5}{4}$；
∴a≤$\frac{5}{4}$；
故答案为：a≤$\frac{5}{4}$．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，基本初等函数的求导，二次函数符号和判别式△的关系，要熟悉二次函数的图象．