Question

3．已知函数f（x）=x²-2x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）当a=1时，试求函数图象过点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）当a=2时，若关于x的方程f（x）=3x+b有唯一实数解，试求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂），且不等式f（x₁）＞mx₂恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求当a=1时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）问题转化为b=x²-3x+lnx有唯一实数解，（x＞0），令g（x）=x²-3x+lnx，（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的极值，从而求出b的范围即可；
（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，不等式f（x₁）＞mx₂恒成立即为$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$＞m，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，有f（x）=x²-2x+lnx，
∵f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+1}{x}$，∴f′（1）=1，
∴过点（1，f（1））的切线方程为：y-（-1）=x-1，
即x-y-2=0．                          
（Ⅱ）当a=2时，有f（x）=x²-2x+2lnx，其定义域为（0，+∞），
从而方程f（x）=3x+b可化为：b=x²-5x+2lnx，
令g（x）=x²-5x+2lnx，则g′（x）=$\frac{{2x}^{2}-5x+2}{x}$，
由g′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2，g′（x）＜0，得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，2）上单调递减，
且g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$-2ln2，g（2）=-6+2ln2，
又当x→0时，g（x）→-∞；当x→+∞时，g（x）→+∞，
∵关于x的方程f（x）=3x+b有唯一实数解，
∴实数b的取值范围是b＜-6+2ln2或b＞-$\frac{9}{4}$-2ln2．
（Ⅲ）f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$（x＞0），
令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，
当△=4-8a＞0且a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，由2x²-2x+a=0，得x₁，₂=$\frac{1±\sqrt{1-2a}}{2}$，
由f'（x）＞0，得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$；
由f'（x）＜0，得 $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
故若函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
由f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，则x₁+x₂=1，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由0＜a＜$\frac{1}{2}$，可得0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{2x}_{1}+（{2x}_{1}-{{2x}_{1}}^{2}）l{nx}_{1}}{1{-x}_{1}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），
h′（x）=-1-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，则-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$＜-1，
又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即 $\frac{f（x）}{x}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于综合题．