Question

6．已知函数f（x）=2^x+a•2^-x，其中常数a≠0．
（1）当a=1时，f（x）的最小值；
（2）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）直接可求得最小值；
（2）复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意x∈R恒成立，只要k-cosx≤k²-cos²x，即cos²x-cosx≤k²-k  ①；设g（x）=cos²x-cosx，则g（x）的最大值为2．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2，
当且仅当${2}^{x}=\frac{1}{{2}^{x}}$，即x=0时取等号；
（2）当k∈（1，2]时，0＜k-cosx≤3，0＜k²-cos²x≤4，
当a=256时，f（x）=2^x+256•2^-x，
由复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意x∈R恒成立，只要k-cosx≤k²-cos²x，即cos²x-cosx≤k²-k  ①
设g（x）=cos²x-cosx，则g（x）的最大值为2．
要使得①式成立，必须k²-k≥2，即k≥2或k≤-1
∴在区间（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立．

点评 本题主要考查了基本不等式基础，函数的单调性综合应用等知识点，属中等题．