Question

20．如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E，F分别是AB，AC上的点，且$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=μ\overrightarrow{AC}$，（其中λ，μ∈（0，1）），且λ+4μ=1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则$\overrightarrow{MN}$的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 由向量的数量积公式求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$，连接AM、AN，利用三角形中线的性质得出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$，再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得${\overrightarrow{MN}}^{2}$=$\frac{21}{4}$μ²-$\frac{3}{2}$μ+$\frac{1}{4}$，结合二次函数的性质可得最小值．

解答 解：连接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos120°=-$\frac{1}{2}$
∵AM是△AEF的中线，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AF}$）=$\frac{1}{2}$（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）
同理，可得$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
由此可得$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（1-μ）$\overrightarrow{AC}$
∴${\overrightarrow{MN}}^{2}$=[$\frac{1}{2}$（1-λ）+$\frac{1}{2}$（1-μ）]²=$\frac{1}{4}$（1-λ）²+$\frac{1}{2}$（1-λ）（1-μ）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+（1-μ）²=$\frac{1}{4}$（1-λ）²-$\frac{1}{4}$（1-λ）（1-μ）+$\frac{1}{4}$（1-μ）²，
∵λ+4μ=1，可得1-λ=4μ，
∴代入上式得${\overrightarrow{MN}}^{2}$=$\frac{1}{4}$×（4μ）²-$\frac{1}{4}$×4μ（1-μ）+（1-μ）²=$\frac{21}{4}$μ²-$\frac{3}{2}$μ+$\frac{1}{4}$
∵λ，μ∈（0，1），
∴当μ=时，${\overrightarrow{MN}}^{2}$的最小值为$\frac{1}{7}$，此时|$\overrightarrow{MN}$|的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{7}$

点评 本题给出含有120度等腰三角形中的向量，求向量$\overrightarrow{MN}$模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于难题．