Question

6．在数列{a_n}中，${a_1}=\frac{5}{3}$，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）推导出${b_1}={a_1}-1=\frac{2}{3}≠0$，3b_n+1=b_n，由此能证明{b_n}是等比数列．
（2）由（1）得${a_n}={b_n}+1=\frac{2}{3^n}+1$，由此利用分组求和法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 证明：（1）依题意，${b_1}={a_1}-1=\frac{2}{3}≠0$…（1分）
a_n=b_n+1，a_n+1=b_n+1+1，所以3（b_n+1+1）=b_n+1+2…（3分）
3b_n+1=b_n…（4分），$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{3}$，{b_n}是等比数列…（5分）
解：（2）由（1）得${b_n}=\frac{2}{3}×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}=\frac{2}{3^n}$…（7分），
${a_n}={b_n}+1=\frac{2}{3^n}+1$…（8分）
∴${S}_{n}=\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-{3}^{n}}$$+n=n+1-\frac{1}{3^n}$…（10分）

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．