Question

16．计算：
（1）sin$\frac{25π}{6}+cos\frac{26π}{3}+tan（-\frac{25π}{4}）$
（2）已知$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}$=3，求$\frac{{3\sqrt{x}-x}}{{{x^2}+{x^{-2}}-2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数诱导公式求解．
（2）由$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}$=3，推导出x²+x^-2=47，3$\sqrt{x}$-x=（$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$）$\sqrt{x}$-x=1，由此能求出$\frac{{3\sqrt{x}-x}}{{{x^2}+{x^{-2}}-2}}$．

解答 解：（1）sin$\frac{25π}{6}+cos\frac{26π}{3}+tan（-\frac{25π}{4}）$
=sin$\frac{π}{6}$+cos$\frac{2π}{3}$-tan$\frac{π}{4}$
=$\frac{1}{2}-cos\frac{π}{3}$-1
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1$
=-1．
（2）∵$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}$=3，∴x+$\frac{1}{x}$=7，∴x²+x^-2=47，
3$\sqrt{x}$-x=（$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$）$\sqrt{x}$-x=1，
∴$\frac{{3\sqrt{x}-x}}{{{x^2}+{x^{-2}}-2}}$=$\frac{1}{47-2}$=$\frac{1}{45}$．

点评 本题考查三角函数求值、有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式、有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．