Question

11．已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=11，且a₂，a₅，a₆成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求 S_n．

Answer 1

分析 （I）设{a_n}的公差为d，由题意可得d的方程，解方程可得通项公式；
（II）由（I）知当n≤6时a_n＞0，当n≥7时a_n＜0，分类讨论去绝对值可得．

解答 解：（I）设{a_n}的公差为d，由题意${a_5}^2={a_2}{a_6}$，
即${（{{a_1}+4d}）^2}=（{{a_1}+d}）（{{a_1}+5d}）$，
变形可得$2{a_1}d+11{d^2}=0$，
又由a₁=11可得d=-2或d=0（舍）
∴a_n=11-2（n-1）=-2n+13；
（II）由（I）知当n≤6时a_n＞0，当n≥7时a_n＜0，
故当n≤6时，S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=12n-n²；
当n≥7时，S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a₆-（a₇+a₈+…+a_n）
=2（a₁+a₂+a₃+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a_n）=72-（12n-n²）=n²-12n+72．
综合可得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{12n-{n}^{2}，n≤6}\\{{n}^{2}-12n+72，n≥7}\end{array}\right.$

点评 本题考查等差数列的求和公式和通项公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．