Question

14．设x₁，x₂，…，x_n∈R₊，定义S_n=$\sum_{i=1}^{n}$（x_i+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$•$\frac{1}{{x}_{i}}$）²，在x₁+x₂+…+x_n=1条件下，则S_n的最小值为n．

Answer 1

分析 展开完全平方式，写出2S_n，结合基本不等式的性质以及等号成立的条件求得答案．

解答 解：∵（x_i+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$•$\frac{1}{{x}_{i}}$）²=${{x}_{i}}^{2}+\frac{2（n-1）}{{n}^{2}}+\frac{（n-1）^{2}}{{n}^{4}}\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}}$，
∴$2{S}_{n}=（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）+（{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}）+$…$+（{{x}_{n-1}}^{2}+{{x}_{n}}^{2}）+（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{n}}^{2}）$
$+\frac{2n（n-1）}{{n}^{2}}+$$\frac{2n（n-1）}{{n}^{2}}$+$\frac{（n-1）^{2}}{{n}^{4}}[（\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}）+（\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}}）+…+$$（\frac{1}{{{x}_{n-1}}^{2}}+\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}）+（\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}）]$
∴2S_n的最小值为2（x₁x₂+x₂x₃+…+x₁x_n）+$\frac{4（n-1）}{n}$$+2（\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{1}{{x}_{2}{x}_{3}}+…+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{n}}）$$\frac{（n-1）^{2}}{{n}^{4}}$．
∵x₁+x₂+…+x_n=1，
∴当${x}_{1}={x}_{2}=…={x}_{n}=\frac{1}{n}$时，2S_n取得最小值为$\frac{2}{n}+\frac{4n-4}{n}+\frac{2{n}^{2}-4n+2}{n}=2n$．
∴S_n的最小值为n．
故答案为：n．

点评 本题考查数列的求和，考查了基本不等式的运算性质，属中档题．