【题目】设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R).
(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值;
(2)若不等式f(x)+f(﹣x)≥mt+m对任意x∈R,t∈[﹣2,1]恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由函数f(x)是定义在R上的偶函数,得f(x)=f(﹣x)恒成立,
则 ,
∴ ,
∴(2a+1)x=0恒成立,则2a+1=0,故
(2)解:
= .
当且仅当x=0时取等号,
∴mt+m≤1对任意t∈[﹣2,1]恒成立,
令h(t)=mt+m,
由 ,解得 ,
故实数m的取值范围是 .
【解析】(1)由偶函数的定义f(﹣x)=f(x)恒成立可求;(2)不等式f(x)+f(﹣x)≥mt+m对任意x∈R成立,等价于[f(x)+f(﹣x)]min≥mt+m,利用基本不等式可求得[f(x)+f(﹣x)]min , 然后构造关于t的一次函数,利用一次函数的性质可求得m范围.
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点,需要掌握在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法:
①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[﹣1,a])是偶函数,则实数b=﹣2;
②f(x)= + 既是奇函数又是偶函数;
③若f(x+2)= ,当x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则f(2015)=2;
④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(xy)=xf(y)+yf(x),则f(x)是奇函数.其中所有正确命题的序号是 .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设A={0,1,2,4},B={ ,0,1,2,6,8},则下列对应关系能构成A到B的映射的是( )
A.f:x→x3﹣1
B.f:x→(x﹣1)2
C.f:x→2x﹣1
D.f:x→2x
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= 的定义域为集合A,函数g(x)=lg(﹣x2+2x+m)的定义域为集合B.
(1)当m=3时,求A∩(RB)
(2)若A∩B={x|﹣1<x<4},求实数m的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本,并称出它们的重量(单位:克),重量值落在内的产品为合格品,否则为不合格品,统计结果如表:
(Ⅰ)求甲流水线样本合格的频率;
(Ⅱ)从乙流水线上重量值落在内的产品中任取2个产品,求这2件产品中恰好只有一件合格的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com