Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）如图，C、D分别为椭圆C₁的上下顶点，M为椭圆C₁上的一动点，过点M做圆C₂：（x-1）²+y²=1的两条切线分别交y轴于点P，Q两点，记△MCD、△MPQ的面积分别为S₁，S₂，求

S1

S2

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

a=2b b2 a =1

，由此能求出椭圆C₁的标准方程．
（2）由题意知，两条切线的斜率都存在，设点M（x₀，y₀），切线的斜率为k，则切线方程为kx-y+y₀-kx₀=0，

|k+y0-kx0|

k2+1

=1，由此入手能求出

S1

S2

的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，
过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，
∴

a=2b b2 a =1

，解得b=2，a=4，
∴椭圆C₁的标准方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）由题意知，两条切线的斜率都存在，设点M（x₀，y₀），
切线的斜率为k，则切线方程为y-y₀=k（x-x₀），即kx-y+y₀-kx₀=0，
∴

|k+y0-kx0|

k2+1

=1，
∴（x02-2x0）k²+2（1-x₀）y₀k+y₀²-1=0，
记其两根分别为k₁，k₂，
在y-y₀=k（x-x₀）中，
令x=0，得y=y₀-kx₀，∴|PQ|=|（k₁-k₂）x₀|，
∴|PQ|²=x02[(k1+k2)2-4k1k2]
=

4(1-x0)2y02-4(x02-2x0)(y02-1)

(x02-2x0)2

•x02
=4•

y02+x02-2x0

(x0-2)2

，
又

x02

16

+

y02

4

=1，
∴|PQ|²=

3x02-8x0+16

(x0-2)2

=

3(x02-4x0+4)+4x0+4

(x0-2)2

=3+

4(x0+1)

(x0-2)2

，
令x₀+1=t，则t∈[-3，1）∪（1，5]，

4(x0+1)

(x0-2)2

=

4t

(t-3)2

=

4

t+ 9 t -6

，
当t=-3时，

4

t+ 9 t -6

取得最小值-

1

3

，
∴

S1

S2

=

|CD|

|PQ|

=

4

|PQ|

的最大值为

4

3- 1 3

=

6

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两个三角形面积比值的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．