Question

如图所示，过抛物线y=

1

4

x²的焦点F的直线l与抛物线和圆x²+（y-1）²=1交于A，B，C，D四点，则

AB

•

DC

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,抛物线的定义

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：通过求抛物线焦点坐标和圆心坐标，会发现圆心在焦点上，所以由图可得：|

AB

|=|AF|-1，根据抛物线的定义，A点到F的距离，等于它到准线的距离，所以|AF|=y_A+1，所以就得到|

AB

|=yA；同样的办法去表示|

DC

|，会得出|

DC

|=yD，所以

AB

•

DC

=-yA•yD，所以到这你会想到根与系数的关系，设直线l的斜率为k，求出方程为y=kx+1，在这需要解x带人抛物线方程，这时你会发现需要讨论k=0和k≠0，到这下边的就比较简单了．

解答： 解：抛物线y=

1

4

x²的焦点为：（0，1），准线方程是：y=-1，圆x²+（y-1）²=1的圆心是：（0，1），半径：1，所以圆心在焦点上，所以：
|

AB|

=|AF|-|BF|=y_A，|

DC

|=|DF|-|CF|=y_D所以

AB

•

DC

=-|

AB

||

DC

|=-yA•yD则：
当直线l垂直于y轴时，y_A=y_D=1，所以

AB

•

DC

=-1；
当直线l不垂直y轴时，设直线l的斜率为k，且k≠0，则直线方程为y=kx+1，所以x=

y-1

k

，带入抛物线方程并整理得：y²-（2+4k²）y+1=0；
由根与系数的关系得：y₁•y₂₌₁，所以

AB

•

DC

=-1，
故答案为：-1．

点评：本题比较巧的地方是|

AB

|=|AF|-|BF|， 同样|

DC

|=|DF|-|CF|，知道这点，这道题基本就可求解出来了．