设函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,若方程
在
上有两个实数解,求实数
的取值范围;
(3)证明:当时,
.
(1)时,在
上是增函数;
时,在
上单调递增,在
上单调递减.(2)
,(3)详见解析
解析试题分析:(1)求函数单调区间,首先明确定义域,再求导,由于含有参数,需分类讨论根的情况.
时,
,所以
在
上是增函数.当
时,由
,所以
在
上单调递增,在
上单调递减.(2)本题考查函数与方程思想,实际研究直线
与函数
图像交点有两个的情况,由(1)知
在
上单调递增,在
上单调递减,且
,所以当
时,方程
有两解.(3)本题关键在于构造函数,首先将两变量分离,这要用到取对数,即
因此只需证
,即证
为单调减函数,可利用导数
,再结合(1)的结论,可证.
试题解析:(1).
①时,
,∴
在
上是增函数. 1分
②当时,由
,由
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减. 4分
(2)当时,由(1)知,
在
上单调递增,在
上单调递减,
又, 6分
∴.
∴当时,方程
有两解. 8分
(3)∵.∴要证:
只需证
只需证:.
设, 10分
则.
由(1)知在
单调递减, 12分
∴,即
是减函数,而
.
∴,故原不等式成立. 14分
考点:利用导数求单调区间,利用导数证不等式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(满分12分)已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数在区间
上为减函数,求实数
的取值范围;
(3)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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