Question

20．已知以抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为虚轴的一个端点的双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{8}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0），抛物线的一条与双曲线的渐近线平行的切线在y轴上的截距为-1，则p的值为4．

Answer 1

分析 由题意得出b=$\frac{p}{2}$，根据双曲线的渐近线方程求出切线方程得出切点坐标，把切点坐标代入切线方程即可求出p．

解答 解：抛物线的焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），∴b=$\frac{p}{2}$．
双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$x=$\frac{\sqrt{2}p}{8}$x．
∴抛物线的切线方程为y=$\frac{\sqrt{2}p}{8}x$-1．
由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，∴y′=$\frac{x}{p}$．
设切点坐标为（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\frac{\sqrt{2}p}{8}$，解得x₀=$\frac{\sqrt{2}{p}^{2}}{8}$，y₀=$\frac{{p}^{3}}{64}$．
∴$\frac{{p}^{3}}{64}$=$\frac{\sqrt{2}p}{8}$×$\frac{\sqrt{2}{p}^{2}}{8}$-1，解得p=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了圆锥曲线的性质，切线的意义及求法，属于中档题．