Question

已知函数f（x）=|x-m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]．
（1）求实数m的值；
（2）已知a，b，c∈R，且a-2b+2c=m，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

考点：柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：综合题,推理和证明,不等式

分析：（1）不等式f（x）≤3等价于m-3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]，建立方程组，即可求实数m的值；
（2）由（1）得：a-2b+2c=2，再利用柯西不等式求得a²+b²+c²的最小值．

解答： 解：（1）|x-m|≤3?-3≤x-m≤3?m-3≤x≤m+3，由题意得

m-3=-1 m+3=5

，解得m=2；
（2）由（1）可得a-2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a²+b²+c²）[1²+（-2）²+2²]≥（a-2b+2c）²=4，
∴a²+b²+c²≥

4

9

当且仅当

a

1

=

b

-2

=

c

2

，即a=

2

9

，b=-

4

9

，c=

4

9

时等号成立，
∴a²+b²+c²的最小值为

4

9

．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．