Question

5．已知a＞0，函数$f（x）=2asin（2x+\frac{π}{6}）-2a+b$，当$x∈[0，\;\frac{π}{2}]$时，-5≤f（x）≤1．
①求常数a．b值．
②设g（x）=lg[f（x）+3]，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 ①利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的范围，再根据-5≤f（x）≤1，求得a、b的值，可得函数的解析式．
②根据 $g（x）=lg[4sin（2x+\frac{π}{6}）]$，以及对数函数的定义域、正弦函数的单调性，求得g（x）的单调区间．

解答 解：①∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7}{6}π$，$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∵a＞0，-5≤f（x）≤1，∴$\left\{\begin{array}{l}2a×1-2a+b=1\\ 2a×（-\frac{1}{2}）-2a+b=-5\end{array}\right.$，$⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，∴$f（α）=4sin（2x+\frac{π}{6}）-3$．
 ②$g（x）=lg[4sin（2x+\frac{π}{6}）]$，有$2kπ＜2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$$⇒[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{π}{6}]\;k∈z$，
可得g（x）的单增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{6}$]．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}＜2kπ+π$，求得x∈$[kπ+\frac{π}{6}，\;kπ+\frac{5}{12}π]\;k∈z$，
可得g（x）的单减区间为 $[kπ+\frac{π}{6}，\;kπ+\frac{5}{12}π]\;k∈z$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，复合函数的单调性，对数函数的定义域，属于中档题．