Question

如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点．
 
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：DE⊥平面PAB.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

(1)设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

所以EF∥DC，且EF＝DC＝AB.
故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF.
又ED?平面PBC，CF?平面PBC，
故DE∥平面PBC.
(2)因为PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PD.
又因为AB⊥AD，PD∩AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.
ED?平面PAD，故ED⊥AB.又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；
PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
所以ED⊥平面PAB.