Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面 ABCD，AC⊥BD于点O，E为线段PB 上的点，且BD⊥AE．
（1）求证：PD∥平面 AEC；
（2）若BC∥AD，BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，PD=3且AB=CD．求三棱锥A-EBC 的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知AC⊥BD，BD⊥AE，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面AEC，得到BD⊥OE，再由已知PD⊥平面 ABCD，可得PD⊥BD，则PD∥OE．由线面平行的判定可得PD∥平面AEC；
（2）由已知BC∥AD，BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，AB=CD，可得四边形ABCD为等腰梯形，结合AC⊥BD求得AO=2OC=2，求出三角形ABC的面积，由（1）知OE为三棱锥E-ABC的高，求出OE，代入棱锥体积公式得答案．

解答 （1）证明：如图，
∵AC⊥BD，BD⊥AE，且AC∩AE=A，
∴BD⊥平面AEC，则BD⊥OE，
又PD⊥平面 ABCD，
∴PD⊥BD，则PD∥OE．
∵OE?平面AEC，PD?平面AEC，
∴PD∥平面AEC；
（2）解：∵BC∥AD，BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，AB=CD．
∴四边形ABCD为等腰梯形，
又AC⊥BD，可得AO=2OC=2，∴AC=3．
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$．
由（1）知OE⊥平面ABC，OE=$\frac{1}{3}PD$，而PD=3，
∴OE=1．
∴${V}_{A-EBC}={V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．