Question

19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，设∠BAF=θ，且θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$），则双曲线C离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，2]
• B． [$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 作出对应的图象，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB=|FF′|=2c．|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．可得e=$\frac{c}{a}$的表达式，求出即可．

解答 解：如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，∴AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
则|BF|=2csinθ，|AF|=2ccosθ．
∵|AF′|-|AF|=2a．
∴2csinθ-2ccosθ=2a．
即c（cosθ-sinθ）=-a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$，
∵θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$），
∴θ-$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{6}$），
则sin（θ-$\frac{π}{4}$）∈（0，$\frac{1}{2}$），
$\sqrt{2}$sin（θ$-\frac{π}{4}$）∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
则$\frac{1}{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$＞$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
即e＞$\sqrt{2}$，
故双曲线离心率的取值范围是（$\sqrt{2}$，+∞），
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，注意利用数形结合进行求解．