Question

11．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0的解集为（　　）

• A． （2017，+∞）
• B． （0，2017）
• C． （-∞，-2017）
• D． （-2017，0）

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=x²f（x），对其求导可得g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），结合题意分析可得函数f（x）为减函数，再根据（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0，可得（x+2015）²f（x+2015）＞（-2）²f（-2），即可得出结论．

解答 解：根据题意，令g（x）=x²f（x），（x＜0）
其导数g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
又∵函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，2f（x）+xf′（x）＞x²，
∴2xf（x）+x²f′（x）＜x³＜0，
∴g′（x）=[x²f（x）]′＜0，
∴函数y=x²f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∵（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0，
∴（x+2015）²f（x+2015）＞（-2）²f（-2），
∴x+2015＜-2，
x＜-2017，
即不等式（x+2015）²f（x+2015）-4f（-2）＞0的解集为（-∞，-2017）；
故选：C．

点评 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，关键是构造函数g（x）=x²f（x），并分析其在（-∞，0）上的单调性．