Question

16．已知等差数列{a_n}满足a₂=2，且a₅+a₆+a₇=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知列式求得等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由a₂=2，且a₅+a₆+a₇=18，得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{3{a}_{1}+15d=18}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．