Question

8．已知点A（-1，0），B（1，0），如果点C在函数y=-3x²+2的图象上，那么使得△ABC为直角三角形的点C的个数为（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 设点C（a，-3a²+2），分类讨论，分别利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的公式，求得a的值的个数，可得点C的个数，从而得出结论．

解答 解：∵点A（-1，0），B（1，0），如果点C在函数y=-3x²+2的图象上，则设点C（a，-3a²+2），
∵△ABC为直角三角形，
①若A为直角顶点，则有AC⊥AB，此时，a=-1，点C的坐标为（-1，-1）；
②若B为直角顶点，则有BC⊥AB，此时，a=1，点C的坐标为（1，-1）；
③若C为直角顶点，则有AC⊥BC，此时，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=（-1-a，3a²-2）•（1-a，3a²-2）
=（-1-a）•（1-a）+（3a²-1）²=a²-1+9a⁴-12a²+4=9a⁴-11a²+3=0，
求得a²=$\frac{11+\sqrt{13}}{18}$，或a²=$\frac{11-\sqrt{13}}{8}$，故此时，a的不同的值共有4个，
此时，点C共有4个．
综上可得，满足条件的点C共有6个，
故选：B．

点评 本题主要考查解三角形，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的公式，属于中档题．