Question

7．已知函数f（x）=x³+3x²-2，x∈[-2，3]．若方程f（x）=m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值，即可得出实数m的取值范围．

解答 解：f′（x）=3x²+6x=3x（x+2），
∵x∈[-2，3]，令f′（x）=0，解得x=-2，0．
可得x∈（-2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，3]时，f′（x）＞0．
∴当x=0时，函数f（x）取得极小值即最小值，f_min（x）=f（0）=-2．
而f（-2）=-8+12-2=2，f（3）=27+27-2=52，
因此f（x）的最大值为f（3）=52．
∵方程f（x）=m有解，实数m的取值范围为[-2，52]．

点评 本题考查了利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值、方程的实数根，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．