Question

9．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为$-\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．
（1）证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；
（2）证明：存在常数λ，使得|PD|²=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（1）由题意${k}_{AC}•{k}_{BD}=-\frac{1}{4}$，求得${k}_{AC}=-\frac{1}{2}$，写出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，由判别式△=0可得直线l与椭圆E有且只有一个公共点；
（2）设直线l′的方程为y=$\frac{1}{2}x+m$（m≠0），联立两直线方程，求得点P坐标为（2-m，$1+\frac{m}{2}$），得到$|PD{|}^{2}=\frac{5{m}^{2}}{4}$．联立直线l′与椭圆方程，利用根与系数的关系求出|PM|，|PN|．可得|PM||PN|=$\frac{5{m}^{2}}{4}$．结合|PD|²=λ|PM|•|PN|求得λ=1．可得存在常数λ，使得|PD|²=λ|PM|•|PN|．

解答 解：（Ⅰ）由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=2}\\{{c}^{2}=6}\end{array}\right.$．
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
证明：（Ⅱ）（1）由题意${k}_{AC}•{k}_{BD}=-\frac{1}{4}$，
∵${k}_{BD}={k}_{OD}=\frac{1}{2}$，得${k}_{AC}=-\frac{1}{2}$，
则直线l的方程为$y=-\frac{1}{2}x+2$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化简得x²-4x+4=0．
∵判别式△=0，∴直线l与椭圆E有且只有一个公共点；
（2）设直线l′的方程为y=$\frac{1}{2}x+m$（m≠0）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2-m}\\{y=1+\frac{m}{2}}\end{array}\right.$．
故点P坐标为（2-m，$1+\frac{m}{2}$），$|PD{|}^{2}=\frac{5{m}^{2}}{4}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化简得x²+2mx+2m²-4=0．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
判别式△=4（-m²+4）＞0，得-2＜m＜2．
又${x}_{1}+{x}_{2}=-2m，{x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-4$．
∴|PM|=$\sqrt{（2-m-{x}_{1}）^{2}+（1+\frac{m}{2}-{y}_{1}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}|2-m-{x}_{1}|$．
同理，$|PN|=\frac{\sqrt{5}}{2}|2-m-{x}_{2}|$．
故|PM||PN|=$\frac{5}{4}|2-m-{x}_{1}||2-m-{x}_{2}|$=$\frac{5}{4}|（2-m）^{2}-（2-m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}|$=$\frac{5{m}^{2}}{4}$．
∵|PD|²=λ|PM|•|PN|，解得λ=1．
故存在常数λ为1，使得|PD|²=λ|PM|•|PN|．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．