Question

17．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥BD，AD⊥CD，M，N分别为AC，BC的中点，且△BMC为正三角形．求证：
（1）MN∥平面ABD；
（2）平面ABD⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）推导出MN∥AB，由此能证明MN∥平面ABD．
（2）推导出AB⊥BD，MN⊥BD，MN⊥BC，从而MN⊥平面BCD，进而MN⊥CD，AB⊥CD，再由AD⊥CD，得到CD⊥平面ABD，由此能证明平面ABD⊥平面ACD．

解答 证明：（1）∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN∥AB，∵MN?平面ABD，AB?平面ABD，
∴MN∥平面ABD．
（2）∵AB⊥BD，M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN∥AB，∴MN⊥BD，
∵△BMC为正三角形，N分BC的中点，∴MN⊥BC，
∵BC∩BD=B，∴MN⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，∴MN⊥CD，∴AB⊥CD，
∵AD⊥CD，AB∩AD=A，
∴CD⊥平面ABD，
∵CD?平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．