Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，E，F 分别是 AB，PC 的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）设 PD=CD=4，∠BAD=60°，求二面角 E-AF-D 大小的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点G，连接AG，FG，则GF∥DC，且GF=$\frac{1}{2}DC$，再由已知可得AE∥DC，且AE=$\frac{1}{2}DC$，则GF∥AE，且GF=AE，得四边形AGFE为平行四边形，可得EF∥AG．由线面平行的判定可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）在平面ABCD内过D作Dx⊥DC，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系．由已知可得D（0，0，0），A（2$\sqrt{3}$，-2，0），E（2$\sqrt{3}$，0，0），F（0，2，2）．求出平面DAF与平面EAF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值结合平方关系可得E-AF-D的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，取PD中点G，连接AG，FG，则GF∥DC，且GF=$\frac{1}{2}DC$．
∵E为AB的中点，∴AE∥DC，且AE=$\frac{1}{2}DC$．
∴GF∥AE，且GF=AE，则四边形AGFE为平行四边形，
∴EF∥AG．
∵AG?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：在平面ABCD内过D作Dx⊥DC，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系．
∵PD=CD=4，∠BAD=60°，
∴D（0，0，0），A（2$\sqrt{3}$，-2，0），E（2$\sqrt{3}$，0，0），F（0，2，2）．
∴$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{3}$，-2，0），$\overrightarrow{AE}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{AF}=（-2\sqrt{3}，4，2）$．
设平面DAF的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=2\sqrt{3}{x}_{1}-2{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=-2\sqrt{3}{x}_{1}+4{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${y}_{1}=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}=（1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$；
设平面EAF的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2{y}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-2\sqrt{3}{x}_{2}+4{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取${z}_{2}=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{3}）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{-2}{\sqrt{7}×2}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角 E-AF-D的正弦值为$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{7}}{7}）^{2}}=\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．